彼岸学院升华课程之电与磁（下）

第二乐章：磁单极存在吗？

在第一乐章中，我们已经深刻地认识到：“复杂的磁相互作用，其实可以简化为电荷匀速或加速运动的一种相对论效应”。通过两个电磁基本模型，我们几乎可以描绘出经典电磁规律的全部图景。然而，理论物理学家是一群渴望把所有问题都想得明明白白的怪人，他们不仅会思考“表象背后的实质是什么”，同时也会偏执地把探索“实质为何唯一地造就了这个表象”写进自己工作的日程。所以，即使对于描述电磁规律两个基本模型已经显得如此成功，理论家们的心中依然放不下一个潜藏在历史暗角中的问题——磁单极。他们开始严肃地发问：磁单极可以存在吗？如果磁只是电的相对论效应，那么为何电和磁又呈现出一种高度的对称性呢？假如磁单极存在，对于现有理论会有怎样冲击呢？……需要说明的是，这些问题关系到更深的知识，我们只能在电动力学高等课程中细细探讨，而在这升华课程中，我们只进行一些最基本的思考。

（图：电荷与磁荷的场）

什么是磁单极？通过电荷的类比我们便能一目了然。电场线从正电荷发起，到负电荷结束，场线的端点就是所谓的荷。因而磁单极即磁荷，就是发出和终结磁场线的真实端点。当然，你也许会指着麦克斯韦方程嘲笑我说：“你学过物理没有？看看方程中的磁感应强度的散度公式，磁场线明明是闭合的啊，哪来的端点！”没错，但你一定不知道，简洁的真空麦克斯韦方程组，其实是“残缺不全”的，当我们添上磁单极的项时，你会看到一种极其精妙的对称：

我们会发现，麦克斯韦独创的“位移电流假说”虽然精彩，但是倘若使用电荷和磁荷的对称假说，我们会更加轻松地导出磁场旋度的方程式。且当我们认定磁荷不存在时，图二的方程组便蜕化为麦克斯韦方程组。而这也正是为什么磁场实测量B被称为“磁感应强度”而不是“磁场强度”。显然，如果磁单极存在，电磁规律将变得优美简洁，所以即使仅是从美学考虑，磁荷假说也不应该被草率地丢进历史的垃圾桶。

由于磁荷尚未被发现，所以我们这些衷情于物理学的“茅塔人”都获得了一个千载难逢的机会——我们可以发挥奇特的想象，去预言磁荷的各种基本属性并给出自己的证明，这样我们也算是置身于学术探索的第一战线了！那么磁荷究竟会有怎样的基本特性呢？我们只能从自己所掌握的电磁规律中推想他的一些经典性质。我们来试试看。由于磁荷与电荷的完美对称性，我们首先便可猜想磁荷的库仑定律：

同样，磁荷也将满足第一乐章所描述的两个基本模型。这些都是对称的自然结果，你可以写写论文系统地概述他们。但或许，你很快便发现了一些更有意义且略显艰难的问题：磁荷与电荷之间有相互作用吗？有的话是什么样子呢？电的相对论效应和磁荷存在在理论上是可以兼容的吗？兼容的话又为何如此精确地等效呢？

我们现在面对着一些全新的物理问题，他不是通过对已有知识的机械训练就可以寻找到解问的钥匙的，他更需要我们拥有独立设计思想实验的能力和一种敏锐的洞察力。所以，我们试着构想一些实验的背景，以便露出问题的实质：设想两根无限长的导线，其中一根通着电流，另一根通以磁荷流。由于我们刚才已经假定，磁荷和电荷一样，遵循着关乎相对论效应的两个基本模型（第一乐章），因而我们可以想象出这无限长的导线里匀速、加速的电流或磁流所产生的电磁场，于是我们便可以看到，通磁流和电流的导线完全可以利用运动状态的切换实现等价！那便是：一个加速的磁流等效于一个匀速运动的电流，反之，一个加速的电流又等效于一个匀速运动的磁流！

由此我们可以进一步推理到：当一个磁荷与一个电荷静止放置面面相觑之时，他们之间并没有可测的相互作用力，但是如果他们在竖直方向上产生了相对匀速运动，那么彼此都会受到一种垂直于水平方向的力；而如果他们在竖直方向上产生了相对加速运动，那么显然，彼此的相互作用就在两个荷的连线方向上（如下图）。

（图：磁荷与电荷的力作用）

由此我们大致了解到，如果磁荷存在，他们和电荷的确会有明确的相互作用，我们甚至可以定量地推导出他们作用力的大小！而其存在，并不会取缔荷运动的相对论效应，因而可以说，磁的产生有两种机制：磁荷本身和电的相对论效应，他们并不存在冲突，所以人们根本无法从理论上证明磁荷不存在，这无疑给科学探索留下了很大的悬念。我们也可以通过磁荷这种新鲜事物看到，荷之间的相互作用力竟然有是切向的？！这对于经典物理学来说真是一件奇事！另外，一个有加速度的流，却可以改变流的性质而等效为一个匀速的流，这不能不使人猜想到磁荷和电荷在流动时是否是同一事物的不同表现。然而探索他的秘密属于高等课程即量子电动力学的内容，原因在于，静止和匀速流动的荷所产生的场是一种有散无旋的场，本质是量子力学中的“虚粒子场”，而加速的荷产生的有旋的场是一种实粒子场（比如充满电磁波的光子场）。奇特的是，倘若磁荷存在，他的加速产生的对于磁荷的实粒子场，恰恰等效于电荷世界的虚粒子场！我们有理由质疑，电荷与磁荷是虚实粒子的关系吗？他们会是不同空间属性的东西吗？这些问题过于艰深，我们至此不再阐述。

在第二乐章的结尾，我介绍一些磁单极子的前沿知识，这也是我们升华课程难以推理的知识：自狭义相对论成功地解释了电磁规律后，磁单极子理论一度退出历史的舞台，直到上世纪30年代，狄拉克在研究空穴理论时引入了三个假设的亚原子粒子：正电子，反质子和磁单极子，磁单极理论才重新进入了人们的视野。后来大一统理论也预言了磁单极子的存在，虽然他的性质和狄拉克的磁荷并不一致。现在，时髦的观点认为，磁单极子是一种孤立波，而在宇宙早期，抑制其生成的机制恰恰导致了宇宙的暴涨。1975年，美国科学家曾经在大气中探测到粒子的一条奇特的轨迹，似乎只能用磁单极子来解释。1982年的情人节，更是有实验探测到“8磁子信号”——这是独属于磁单极的信号特征！但自那之后，人们至今没有勘测到磁单极子存在的任何痕迹，但是磁单极子的探究已经成为理论物理学中越来越热门的话题。

第三乐章：原来还有更本质的东西

接下来我们要了解的是电动力学升华课程的最后一个部分——势。我们将学习电磁场的标势和矢势，并用我们一贯倡导的形象思维去构想库仑规范和洛伦兹规范的图景从而把握他们的实质，同时，我们依旧会提出许多探究性问题留给大家思考。你也许会感到纳闷：为什么我们要学习矢势标势？难道第一和第二乐章对电和磁规律的描述还不够完备吗？我要告诉你：的确如此。本来，标势和矢势只是一种数学上的技巧，只关心事物物理本质的学者们可以无需为之操心，但是后来，量子力学中AB效应、贝里相位等问题的发现，使我们开始意识到势可能是一种更加本质的客观存在，因而学习标势矢势就显得格外重要。和第二乐章一样，这一部分的知识主旋律会在高等课程中奏响，我们在这里依然只做最基本的探讨。

我们刚才说到，最初势的提出只是一种数学上的程序。然而物理研究的经验告诉我们，当我们对一个简单的物理定律进行数学抽象后，常常会得到一些更加深刻和普适的结论。比如说，对牛顿力学定律的抽象启发了我们看待自然的另外两种眼光——动量和能量，而在微观世界的探索中我们发现，力学定律失效了，但后两者却依旧是我们认识万物的指导；再如，1907年闵可夫斯基将爱因斯坦的狭义相对论数学化，相对运动被规范为四维时空的正交变换。最初，爱因斯坦对这成果不屑一顾，然而后来当他开始摸索广义相对论的时空理论时，才恍然意识到闵可夫斯基的工作揭示了更为本质的真理，他也是广义相对论的得以生长的根基。对物理规律每一次数学化的抽象，往往都是用一种更高的视角来俯视自然的面貌，因此我们常可以从中获得更多的知识。

真正精彩的数学抽象从来不是一种无意义的符号化工作，他有着一种哲学的目标，是用更精妙的思维方式来发现变化的自然中的不变性和统一。“势”的追求就是如此：当我们去爬山时，我们知道到达山顶有着不同的路径，但是无论你选择什么样的路，最后到达的高度都是唯一的。如果到达同样的高度要走更长的路，则路的坡度更低，反之更高。为了知道某一条路径的首尾高度差，我们可能要动用积分才能求出，但我们也可以通过绘制等高线图，直接找出首尾两点“高度数值”，便能求出差值。这种“高度数值”，就是一种标势。

可以见得，标势是人们对于空间参量不变性的一种追求。现在，当我们知道山上各点的坡度时，我们可以绘出更加抽象的等高线图，但是我们立马又发现，如果整座山都拔高1000米，等高线上的高度数值虽然都要做出修改，但是地图上各点的坡度竟然一点都没变。换言之，如果只知道地图上坡度的分布，你可以得到各种不同的等高线图，这些不同的等高线图就可以叫做规范，他们满足规范不变性，即不同规范可以导出相同的坡度图。

下面我们由这个简单的比喻来理解电动力学的标势和矢势。他们最初来自这样的定义：

我们都知道，有散度无旋度的静电场其实就可以视为一种坡度场，那么他就会有自身所对应的电标势。有旋度无散度的磁场则可以由旋度的形象本质——场线垂直方向的差值（参见《电动力学基础课程》）引导出一种新的矢量场：矢势场。矢势场的散度即为磁场。在经典物理学中，真正的实测场有三种：有散度无旋度的电场、有旋无散的磁场和有旋无散的电场。前两种我们已经可以通过电标势求梯度、磁矢势求散度来获得，也就是说，电荷静止或匀速运动，就可以产生这种稳定的、在空间各点分布的标势或矢势场，就像温度场和水流场一样。这些场的空间导数形成了我们实测的静电场和磁场。那么，第三种旋电场又是什么样的势产生的呢？

事实上，通过法拉第电磁感应定律我们已经可以导出答案，即磁矢势的时间导数为电场。但是我们还是更多从图像中寻找解释，因为通过图像我们也能更直观地看到一些其他的问题。试想，应用第一乐章阐述的两个基本模型，我们应该可以完成一个目标：寻找到有具体运动状态的电荷和势场之间的对应关系，这样，只要知道电荷的运动情况，我们就可以得出空间的势场进而预测出电磁场分布！这样我们对电与磁相互作用的认识就将得到高度的深化。我们现在开始这项工作。

电标势是什么样的呢？在基础课程的学习中我们就已经知道，静止的电荷产生标势场，强度大小与电荷距离呈一次反比，这一点已经无需赘述。而至于磁矢势，我们依然从无限长直导线来构想他的图像：

由此我们知道，无限长直导线电流的矢势场如图所示。而现在我们已经可以解答刚才提到的问题：旋电场的势的根源是什么？通过第二基本模型中无限长直导线内部加速电流产生的旋电场图，我们惊讶地发现：速度随时间变化的电流产生了有旋度的电场，而这恰恰对应了空间各点的矢势随时间的变化率！于是我们知道了，旋电场的势正是磁矢势，只不过旋电场其实是磁矢势的时间导数！

所以电磁场空间的三种实测场就都有了对应的势的触发机制，我们就可以写出如下公式：

然而我们承诺过要绘出单个电荷在各种运动状态下所产生的势场，所以我们的探索还没有结束。好在，有了两个基本模型，我们很快就可以得到答案：

（图：库仑规范矢势图）
通过第二基本模型，我们可以导出矢势场的图，我们会发现，空间的每一点都由于电荷的匀速运动刚产生了一个矢量。这个矢量的方向和此点与电荷源头的连线方向是完全垂直的！这就意味着，在这样的矢量场中，每一个点上的矢量，都无法沿着矢量方向追溯其源头，他正是一个无源场！而这其实正是库仑规范的矢势场形态：

为什么我们说这是库仑规范矢势场呢？难道一个匀速运动的电荷产生的势场还有其他可能的模样吗？答案是肯定的。现在，我们来看这样一种矢量分布情况：

||

（矢势方向错了！）

如图，如果我们在库仑规范矢势场上叠加另一个矢势场，这个场的特征是：所有点的矢势方向为与运动电荷的连线方向，且大小与电荷的距离呈反比。那么我们会发现，叠加形成的矢势场，对其求散度而成的磁场，和库仑规范矢势场求得的磁场是一样的！也就是说，这种情况，也是一种等价的规范场！

用这种叠加方式形成的新的矢势场有一种特别的情况，即上图右边的图像：空间所有点的矢势都和运动方向一致，矢势大小与点到电荷距离成反比。如果你足够有洞察力，你也许会发现，这种图像描绘的正是洛伦兹规范矢势场！我们知道，洛伦兹规范的条件是：

而这个公式和电荷守恒公式有着一样的形式：

所以我们可以看到，洛伦兹规范其实是把矢势视作一种有速度的标势，即

所以我们叠加形成的新的矢势场，刻画的正是洛伦兹规范场！此时，规范势场所产生的电磁场，已经没有严格的“旋电场”、“静电场”之分了。他们已经成了一个整体。有了这些具体的规范，我们也就可以代换麦克斯韦方程组，得到更为本质的势方程组，比如使用洛伦兹规范得到达朗贝尔方程：

由波动方程的原理可以见得，和电磁波一样，矢势和标势也是有传播速度的，这个速度即是光速。所以空间某点实测的电场、磁场，其实是由一定时间之前的势所产生的，我们称这种势为“推迟势”。势的推迟效应，也满足狭义相对论的信息传播不大于光速的原理。
值得注意的是，矢势和标势，似乎在物理本质上对应着力学中的动量和能量，前者对时间的导数、后者对空间的导数形成了力场（电场），当再联系到旋度场和散度场的不同，我们可以思考，动量和能量之间更深的联系是什么呢？另外，规范势只是可以产生可观测效应，但本身还是一个不可观测量，只有规范不变的物理量才能是可观测量。这些问题极其深刻，我们只能在高等课程中探讨了。

而我们的升华课程，就此画上句号了。