彼岸学院升华课程之电与磁（上）

课程声明：彼岸学院课程分为基础、升华和高等三个系列。这里是最为形象和优美的升华课程，主张定性地抓住理论真正的神韵，从而便于学习高等课程——对创造性问题的探讨和对高度融合的现代理论的定量分析。本课已经假定学生对于基础课程：（基础课程可能在明年春节假期后撰写发表）诸如散度旋度的形象本质、场能量、边值关系、电与磁的位移矢量以及麦克斯韦方程各种表达式的含义等问题已经有了清楚的理解，我们要在这之上近一步升华，深入探索电与磁规律的内核。
我们升华课程的核心思路很简单，像一首协奏曲，他有三个乐章：
1.如何去除磁效应，以纯电荷的运动规律来描述电动力学的所有规律
2.如若磁单极存在，电磁规律会有不同吗
3.电学规律可观本质的抽象本质——规范势场
我将尽量遵循《彼岸学院物理讲义》的核心精神开始这个课程。

第一乐章：去掉这该死的磁

在麦克斯韦方程的学习过程中，细心的人可能注意到了一个小小的问题：经典的电磁理论否定了磁单极的客观存在，但是他又在自己的理论系统中不断渗透“磁场”这种概念，然而空间某处的磁场的性质终究是要通过电荷的运动来外化的；磁场中匀速运动的电荷在运动垂直方向受到库仑力的作用，然而通过安培定律我们认识到，所有的磁场却是电流激发的……因而，磁似乎是一种多余的存在，你可以想象，假如一位来自斯巴达的男人偶然闯进现代实验室中，当他看到一个导线通电后（假如他的眼力好得惊人，能看到其中运动的电子的话），附近运动的电子轨迹弯曲了，他会如何陈述这其中的因果关系呢？
显然，他永远考虑不到“磁场”。他至多可以肯定，是那导线中运动的电子影响了附近电荷的运动方向。这给了我们一些启发：电磁理论看似描写着电荷、电场与磁场的变化规律，但是从实践意义上说，磁场似乎是“名存实亡”的——他更像是一种有着人为色彩的假想的中介，我们或许可以得到一个更简洁的“此处电荷如何直接影响彼处电荷”的规律，就像库仑定律所做到的那样。
所以目标清晰了：我们希望寻找运动电荷的“库仑定律”，希望用纯粹的电荷与电场的运动效应来预言电荷所有的力学行为，从而去掉那该死的中介——磁！于是我们开始了这项精彩的工作。然而一动笔来，我们就发现了一个重大的问题。

电磁第一基本模型
既然试图寻找运动电荷即电流如何直接地影响周围的电荷（而不是用磁场描述），那我们需要学会自己设计思想实验，要寻找一个清晰的图景，正是这样的过程使我们发现了隐藏在抽象的理论描述之间的矛盾，这第一个重大的矛盾产生于安培定律，他说道：匀速运动的电荷（比如电流）在其周围产生磁场，此磁场可以使得其他的运动电荷受到洛伦兹力而偏转方向。于是现在，我们想象空间中有两根非常长的塑料管平行摆放着，管中各有一堆向z轴方向以相同速度v匀速运动的电子，我们说这两个管子里都有着同样的电流，根据安培定律他们在空间中激发了磁场，应该会彼此吸引。没错，许多通电导线的实验也证明了我们的猜测。但是，转而一想，如果我们和管中的电子以相同的速度奔跑呢？那么我们会看到什么景象？稍加想象就能知道，以v速度运动的我们会看到两个长管子中的电荷“静静地呆在原地”，那么，这两个塑料管，怎么可能产生吸力呢？难道我们静坐观察和追着缓慢运动的电子观察，会对理想实验得到完全不同的结论？难道是安培定律错了吗？
这个问题是如此不可思议，以至于他也困扰了我很多年，但是提出这样的问题绝不是什么难事，如开头引入的那样，他是我们追求理论简洁性的自然结果。在探索的过程中，我逐渐意识到，一个普通导线通电与一排电子运动虽然都称之为“电流”，然而这里面必然应该有本质的差别。其中的根本差别只能来自导线中“静止”的正电荷。了解过香蕉球原理的同学也许知道，在水中，同向行驶的两艘船会由于伯努利效应而逐渐靠近，有时甚至会相撞。但是若两艘船在太空中运动则彼此毫不相干，显然，这思想实验中的正电荷和水一样，起着“背景场”的作用。
这种作用何以产生呢？我们还并不知道，但是我们可以学着像物理学家那样思考，从零星的线索中看到秩序，提出一些思想的假设。
（图1）在一个通电导线附近运动的电子会受侧向的力。由于运动的相对性，这样的现象等效于导线和导线旁的电子都亭亭玉立，而正电荷在塑料管中小跑。这时你发现，如果正电荷不跑也就是说导线没有通电，那么导线外的电子必然纹丝不动——导线中正负电荷同时施加电场力，相互抵消了。然而正电荷一跑起来，电子竟然向左偏移——吸过去当然是受力了，而这个力——只要你不相信巫术并且固守我们的初衷：寻找运动电荷的库仑定律，他一定只来自于导线中的两种电荷。而负电荷对于电子始终如一，我们可以用库仑定律计算他，所以我们可以得到一个惊人的结论：
“匀速运动”的正电荷和“静止”的负电荷，在垂直运动方向产生比库仑力更强大的力！我们甚至可以更广义地猜测：有相对切向速度的两个带电体，某一时刻相互作用比库仑力更大，而这个力与相对速度呈现线性关系！
我们兴许可以根据磁场的规律计算出这个力的定量信息，我们手上的工具只有电和磁的一些经验结论，我们就从他们出发。为了问题的简便，我们只考察导线中仅有一正一负两个电荷的情况，我们应用运动相对性，从两个角度看他：（图2）
两个负电荷之间的作用力是多大呢？根据库仑定律当然简单，正负电荷形成的“电流”对右端电子的作用是多大呢？根据毕奥萨格尔定律，视这一对电荷存在于长为L的电流元中，视电流元体积为单位一，则电流大小即为ev，所以在垂直的电子位置其磁场大小为，力即为。
所以，运动正电荷与负电子之间的作用力，必为上两式F的和：我们还不知道是什么物理机制使相对运动的正负电荷的吸引力更大，但我们已经猜出来他的公式，接下来我们在自立模型假设这种物理机制之时，这个公式应当是我们假设的理论推导出的必然结果。开始假设之前，我们暂且将这种定性假定（相对运动的电荷产生大于彼此相对静止的库仑力）命名为“电磁第一基本模型”。
现在我们来猜想是什么导致了第一基本模型。你并不需要害怕，你可以大胆地对他作出一些假设，因为他是你自己发现的！本着电磁理论学习的形象化原则，一个很好的思路是构想一个运动电荷的电场模样。麦克斯韦方程第一项已经告诉我们，即使是运动的电荷也遵循高斯定理。那么，高斯定理的实质是什么呢？
不要和我说公式！当我问你“实质”的时候，要么是哲学语言的概括，要么就要你描述一个物理的图景——即使他是类比而出的！如果你用心观察过自家的水池，当水龙头匀速放水时，池底形成了一个奥尔特云式的圆形。你可以大胆地想象，在一片一望无垠的空地上，任水龙头匀速放水而不用担心水费。当大部分空地都源源不断地有水流过时，你任意围绕着出水口挖一圈地道，让水流淌下来。那么你会发现，无论你挖的地道是什么形状，相同时间流入的水量总是一定的！他只和水龙头的水流有关！而高斯定理中，电荷就是那个“空地上的水龙头”，流出了源源不断的电场！
这种想象不仅抓住了高斯定理的神韵，而且在后来电磁势场的探索中，我们会惊讶地发现这种比喻也许真的对应着某种物理实在——虚光子流！这正是物理学的神奇所在，就像势本身概念的提出本是数学假想的，谁知在后来的阿哈罗诺夫-玻姆等量子效应中就发现了他的客观存在！说远了，这何尝不是康德哲学的体现呢？！
所以，当电荷运动，相当于水龙头运动，但喷涌而出的水量依旧是不变的——因为电荷量总是守恒的。所以对于导线旁的电子来说，运动的正电荷如若给与更强的电场力，那便说明在侧方向上运动的电荷有更浓密的“水流”——电场，而运动方向则减弱了，我们由此大胆画出这样的图：
（图3电荷电场线）
这就是电磁第一基本模型的图景了，这也是运动电荷“形象的库仑定律”。这是我们纯粹通过电磁理论内部导出的规律，我们整个升华课程几乎都循着这样的思路。但也许会问：这样的电场准确吗？又为何运动电荷呈现这样的电场呢？这里我们需要更多的信息才能完整地创建理论，但鼓舞人心的是，我们已经走到了自我创建新理论的大门前，门内站着的是天才爱因斯坦！1905年，爱因斯坦提出狭义相对论率先解决了这个问题。我们这里只作针对于第一基本模型的简单介绍，详细的内容参考彼岸学院的相对论课程。
根据狭义相对论，运动的物体在运动方向上发生尺度收缩，即对于某个静止观察者来说，运动的尺子在运动方向上长度变为原来的倍。那么当电荷运动时，首先由于空间即其电场的收缩，的确成为了我们构想的这个图景（图3电场线）

（图2两角度）
也可以进行定量的分析，从角度二看，正电荷运动，因而从右端电子的角度看过去，原来的电流元区域由于尺度收缩，正电荷密度增大了，而新选取的电流元微元空间体积不应改变，所以从角度二评价时，相当于正电荷的量增大了，其大小为（此处特别注意，并非正电荷本身电量改变，而是此角度由于运动方向电荷密度增大而导致的片面评价，从全空间看电荷依旧守恒）
那么新的“电荷量值”代入库仑定律，即得
而由于尺缩效应，原来的磁场公式也要修正：

由于，所以

对进行泰勒展开得

由于导线中电荷移动速度非常缓慢，故只有1和平方项值得保留。代入力的公式，显然

所以，运动电荷依旧满足高斯定理，即电场线总数目不变，但是分布却发生了变化。我们知道电场空间的能量为，每一处的电场强度都可以视作是电场线个数的叠加和，所以，本来各处的电场线数目相同，但由于运动电荷电场线的侧移，侧方向数目多，运动方向数目少，全空间的场线数目即电场强度的平方——能量值，相比于静止电荷就要更大，这个多出能量即为我们所谓的“磁场能量”，而他也深刻地关乎相对论质量变大问题，由此看来，磁场的确“有些多余”。更客观地将，磁的本质只是电的相对论效应。
明白了电磁第一基本模型，我们就已经可以深刻理解这个有着自洽性问题但依旧精彩的麦克斯韦方程的一半——安培定律、库仑定律，可是当我们把目光转移到法拉第电磁感应定律和麦先生所谓独创的“位移电流”问题时，似乎这个基本模型在理解上不够用了！但是好在，我们初步在匀速运动的电荷分析中去掉了磁场，这是多么简洁美妙啊！

电磁第二基本模型

在阐述第二基本模型之前，我们首先要再提出一个麦氏方程的自洽性失败：一个电荷从远处匀速跑来，现在在空间某一个定点——就比如说他的运动方向上的一点检测此处的电场磁场，你会发现，随着电荷运动地越来越近，此处的电场强度应该呈现对时间关系的非线性变化（你可以运用运动相对性反过来思考：检测点在匀速向点电荷中心走去，然后观察运动的检测点测到的电场强度的变化），这就意味着，检测点的电场强度对时间的导数不为零，而是变化着的，那么此处必定不断突变出有旋度的磁场继而激发电场，然后源源不断向外传播——虽然这不是简谐电磁波，但是和电磁波一样，有旋度的电磁场是携带能量而远走的（电磁波只是这种情况的特例）。那么，这个能量来自于谁呢？匀速电荷在某检测点根据麦克斯韦微分方程必然要产生有旋的场进而损失能量，那么匀速运动的电荷就会渐渐停了下来？这显然十分荒谬！
这个问题实质是一种对称性问题，解决的方法就是我们作出“聚光摄影法”——我们在一个定点跟拍电荷，就像舞台上演员游移不定，但是定点的聚光灯总是牢牢地对准他一样。所以说，麦克斯韦方程中的“某定点”实际是在“聚光摄影”的空间中选定的一个紧随电荷运动的点！这样伟大的方程才能自恰！也在这样的方法前提中你可以意识到一个匀速率运动的电荷不会产生任何场辐射——就像惯性定律所预言的那样。
这种对称引发的问题的另一种理解意义上的解决方法是巧用对称——我们研究无限长直导线，也可以规避这个问题。我们就先从此出发，开始探索。
我们的敌人——磁，目前还没有完全消除！他还趾高气昂地留在麦氏方程的第二、四项中，从而对于电磁波的产生举足轻重，所以我们要继续战斗！我们手中的工具依旧是麦克斯韦方程中的经验公式。对于无限长直导线来说，当他通一股匀速电流时，这种情况我们已经再熟悉不过。根据经典理论，他也将产生磁场，这种磁场遵循毕奥萨格尔定律。我们由此分析：根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场产生旋电场，那么，在去磁的追求下，对应的是什么样的电荷产生什么样的电场呢？
首先我们聚焦“变化的磁场”。由于消除了开始讲到的对称性矛盾，我们可以直接先从最简单的无限长直导线人工生产“变化的磁场”。电流的大小唯一地决定了导线外某点的磁场大小，所以如果磁场随时间改变，清晰可见必是电流随时间改变而产生了这种效应。电流随时间改变虽然既可能是电荷总量变化又可能是电荷的加速（电流定义式可见），但显然由于我们开始时要求的全导线的电流对称以及“聚焦摄影法”的思想，所以必然是电荷的变速率运动导致了磁场的变化——电荷加速或减速，是“变化的磁场”的根源。所以，生出磁场的电荷的运动模式，我们初步了解了。
思考变化的磁场该如何消除还需要解决他的存在产生的影响——寻找等效的电场取代他。因为，我们必须知道在这个无限长直导线外变化的磁场产生了什么样的电场。当然是旋电场！可是我们要绘出他的图景！这就需要我们熟知旋度的形象本质。在《电动力学基础课程》中我已形象详尽地讲述他，这里我们只呈现结论：旋度是某点的场强与其领近点同方向场强的差值。
我们只需要想象无限长直导线外每一个点都产生了旋度，你可以随意画旋场的圈，渐渐地你便发现，水平方向的已经全部抵消，只留下了这样的场：
（图4各种旋度叠加影响，最终形成某种电场）
其实我们在矢势问题的求解中已经涉及到了他：一个无限长匀速电流导线周围的矢势场和上图是完全一样的。这本质是因为：无限长直导线的磁场随时间变化的变磁场矢量方向仍然是磁场方向，而矢势的旋度是磁场，所以矢势随时间的导数矢量正是电场矢量，即磁场随时间的导数矢量（读者自行推导）。
明白了这一点，无限长直导线的电场就已经绘出了。但是这种电场与第一基本模型有着巨大的不同——他是有旋度的电场，换句话说不是保守力场，而且他的方向与电荷加速方向同向，大小只唯一和电荷的速率加速度成正比！（图4电场再现）
我们可以近一步导出一个加速的点电荷的旋电场图景：根据毕奥萨格尔定律，我们从每个角度上发出射线，每条射线的磁场都随距离呈现二次反比衰减。因而其旋电场应该是一次反比衰减的，方向垂直于射线方向，是每一个距离园的切线。（这种思考应该由每个学生自己花精力完成，和纯数学推导一样，他没有任何思维火花与价值）
最终我们得出这样的二维图景：
（图5加速点电荷的旋电场）
这就是电磁第二基本模型的形象结论。从这个图像看来，电磁波本质是源电荷或者导线中电流在做有规则的周期振动——比如简谐振动，振动到速度为零的点反而发出电磁波的波峰，而电场与运动方向垂直等各种性质，都归为到了这个模型之中。由此我们才彻底地把磁扔掉了！现在，你只需要知道每个电荷的运动情况，就可以知道某点处的电场是什么模样，我们最终成功地把这一切的规律，化为电荷和他的电场！
当然也许你会奇怪，第二基本模型中的磁场，本质是什么呢？可以像第一基本模型中本质是“电的相对论效应”一样归为某种效应吗？其实，恒定磁场本身是一种“导线电流”的效应，即来自静止的正（负）电荷和匀速运动的负（正）电荷，因此变化的磁场并没有真正的意义，他本质就等价于有旋的电场——他们之间是一种等价转化的关系，即有旋度的电场激发变化磁场然后消失，变化的磁场又生成电场然后消失。一来一回，实际上一切完全可以只用旋电场来描绘。这也正是为什么电磁波的能量密度既可以用磁场也可以用电场来表达——他们等价，但物理内涵上不是同时存在的。
只是，旋电场似乎难以理解。为什么一个加速的电荷可以产生同向的有旋度的电场呢？有旋度的电场是什么样的呢？我们开头发誓过全力追求形象化电磁规律，但这种图景的确对我们都很陌生，以至于即使从物理含义上我们可以赶走磁场，但是在第二基本模型中我们依旧常常提及他从而便于理解有旋电场的传播。旋度场的图像参见我们电动力学的基本课程，而至于其传播，其实，里面有着更深的规律——广义相对论。我们简要提及：由爱因斯坦1907年提出的等效原理，电荷加速等价于其静止处于电场之中，而这种电场是单线的，与其将这种电场说为特殊毋宁说这才是真正意义上的数学上的矢量场基元——就像一个点是标量场的基元一样，保守力场本质上是这种矢量基元的特殊组合。点有扩散的性质，通过高斯定理可见一斑，而矢量基元在三维空间垂直自身的方向上也扩散衰减，而由于其。从物理内涵上看，旋电场的传播是空间场刚性属性的体现。
而加速导致的对称破缺，也是解决狭义相对论中双生子佯谬的根本途径，亦是广义相对论的成功所在。具体的内容此处不再多讲，希望大家独立学习。
但是回到主题，如果你足够有洞察力的话，会发现第二基本模型同样隐藏着问题。与其说这是模型本身的问题更不如将这是整个经典理论的矛盾，我们在这第一乐章的最后阶段抛出此问，留给读者思考，这个问题也关乎我们未来电动力学高等课程的学习。
我们依然在右脑中构建理想实验：假如一个正电荷被绑在了弹簧上，弹簧不断振动，那么根据我们的第二基本模型，正电荷应该不断辐射电磁波，因而弹簧系统应该不断损失能量，直至静止。然而，假如那弹簧上的正电荷锁在一个塑料的黑匣子里，是黑匣子绑着弹簧做简谐振动，那么你会看到什么呢？你会发现一个弹簧上的盒子，没有受到外界干扰，竟然就不断地减弱了振动，最后停了下来——这简直太奇怪了以至于这或许是不可能的！因为初中学生都知道，在没有空气阻力的月球上，单摆可以永远进行下去，弹簧也会如此——这是系统守恒决定的，系统没有理由在不产生相互作用时自发损失能量化为电磁波！
那么，这是第二基本模型错了吗？还是弹簧上的黑匣子真的会振动越来越缓最后停下来？这留给同学们思考，你或许可以学着物理学家那样提出自己的假设，我提供一些思路供大家参考：我们反复提及的加速电流、匀速电流都是一种势场为零的情况——因而，他们所关乎的第一第二基本模型恐怕都是更大的模型的特例，也许哈密顿量的改变才是广义的“加速”从而辐射电磁波，因而一个弹簧上装着正电荷的黑匣子依旧不会产生电磁辐射，因为哈密顿量不变，他是广义上的“匀速电流”……不过无论如何，深入探索这些问题已经不是升华课程的主要内容了，我们在未来的高等课程会全力探索他，这些问题始终那样地叫人心驰神往。

第一乐章终

（未完待续）